দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের সরল সহসমীকরণের অন্তর্গত।

 

 

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা করা হলো :

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution )

(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination )

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা ।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা ।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা ।

 

 

উদাহরণ ১।

সমাধান কর :

x + y =7

x-y=3

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

x + y = 7……….. .(1)

x – y = 3…………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,

x = y + 3………..(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,

y + 3 + y = 7

বা, 2y = 7 – 3

বা, 2y = 4

.. y = 2

এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,

x=2+3

x=5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5,2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x=5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (I) -এর বামপক্ষ = 5+2=7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5-2=3 = ডানপক্ষ ।]

 

 

উদাহরণ ২ ।

সমাধান কর :

x + 2y = 9

2x-y=3

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

x + 2y = 9 …….. ..(1)

2x – y = 3 ………. ..(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3. – (3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9

বা, x + 4x – 6 = 9

বা, 5 x = 6 + 9

বা, 5 x = 15

বা, x = 15/5

.. x=3

এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,

y= 2 x 3-3

=6-3

= 3

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3,3)

উদাহরণ ৩।

সমাধান কর :

2y + 5z = 16

y-2z=-1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ

2y+5z = 16…………..(1)

y-2z-1…………(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z -1…………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,

2(2z-1)+5z = 16

বা, 4z – 2 + 5z = 16

বা, 9z = 16 + 2

বা, 9 z = 18

বা, z = 18 9

.. z = 2

এখন z এর মান সমীকরণ (3) এ বসিয়ে পাই,

y=2×2-1

=4-1

.. y=3

নির্ণেয় সমাধান (y, 2) = (3, 2)

 

 

উদাহরণ ৪।

সমাধান কর :

2/x +  1/y = 1

4/x –  9/y =-1

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

2/x + 1/y = 1 ……… (1)

4/x –  9/y =-1 ……….(2)

1/x = u এবং 1/y = v ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই

2x+v=3 ………(3)

4u-9v-1……… (4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই v=1-2u ….. (5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই,

4u-9 (1-2u)=-1

বা, 4u – 9 + 18u=-1

বা, 22u = 9 – 1

u = 8/22 =  4/11

1/x = 4/11

বা, x = 11/4

এখন, এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v=1-2x 4/11 = 11-8/11

v= 3/11

1/y = 3/11

y = 11/3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (11/4, 11/3)

 

 

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :

(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয় ।

(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে । বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে ।

(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা ।

(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা ।

উদাহরণ ৫।

সমাধান কর :

5x – 4y = 6

x + 2y = 4

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

5x – 4y = 6…..(1)

x + 2y = 4….. .(2)

এখানে সমীকরণ (1) কে 1 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

5x-4y=6……………..(3)

2x+4y=8……………(4)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,

7x=14

বা, x = 14/7  …….(4)

.. x=2

সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

2 + 2y = 4

বা, 2y = 4-2

বা, y = 2/2

.. y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( 2,1)

উদাহরণ ৬।

সমাধান কর :

x + 4y=14

7 x – 3y = 5

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

x+4y=14……………(1)

7x-3y=5…………….(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

3x+12y=42……………..(3)

28x – 12y = 20………. .(4)

31x=62 [যোগ করে]

x = 62/31

বা,   x=2

এখন এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,

2+4y=14

বা, 4 y = 14 – 2

বা, 4y = 12

বা, y = 12/4

বা,y = 3

(x,y) = (2,3)

 

 

উদাহরণ ৭।

সমাধান কর :

5x – 3y = 9

3x-5y=-1

সমাধান :

প্রদত্ত সমীকরণ

5x-3y=9………………(1)

3x-5y=-1……………(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

25x-15y=45……………..(3)

9x-15y=-3……………….(4)

16x = 48 [ বিয়োগ করে ]

বা, x = 48/16
.. x=3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

5 x 3 – 3y = 9

বা, 15 – 3y = 9

বা, – 3 y = 9 – 15

বা, – 3y = -6

বা, y = -6/- 3

.. (x, y) = (3,2)

উদাহরন ৮।

x/5 + 3/y  =3

x/2 – 6/y  =2

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ

x/5 + 3/y  =3 ……… (1)

x/2 – 6/y  =2……… (2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,

2x/5 + 6/y = 6…. (3)

x/2 – 6/y  =2 …..(4)

2x/5 + x/2 = 8

বা, (4x+5x)/ 10 = 8

বা,9x=8×10

বা, x = 80/9

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

1/5 x 80/9 +3/y = 3

বা, 16/9 +3/y = 3

বা, 3/y = 3 – 16/9

বা,  3/y = 11/9

বা, y = 27/11

.:. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (80/9, 27/11)