আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান । এটি অষ্টম শ্রেনী গণিতের সরল সহসমীকরণের অন্তর্গত।
বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান
সরল সহসমীকরণের ধারণা থেকে বাস্তব জীবনের বহু সমস্যা সমাধান করা যায় । অনেক সমস্যায় একাধিক চলক আসে । প্রত্যেক চলকের জন্য আলাদা প্রতীক ব্যবহার করে সমীকরণ গঠন করা যায় । এরূপ ক্ষেত্রে যতগুলো প্রতীক ব্যবহার করা হয়, ততগুলো সমীকরণ গঠন করতে হয় । অতঃপর সমীকরণগুলো সমাধান করে চলকের মান নির্ণয় করা যায় ।
উদাহরণ ১ ।
দুইটি সংখ্যার যোগফল 60 এবং বিয়োগফল 20 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y, যেখানে x>y
১ম শর্তানুসারে, x + y = 60…………… (1)
২য় শর্তানুসারে, x – – y = 20 ………….(2)
সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 2 x = 80
বা x = 80/2 = 40
আবার, সমীকরণ (1) হতে সমীকরণ (2) বিয়োগ করে পাই,
2y = 40
y = 40/2 = 20
নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 40 ও 20
উদাহরণ ২।
ফাইয়াজ ও আয়াজের কতকগুলো আপেলকুল ছিল । ফাইয়াজের আপেলকুল থেকে আয়াজকে 10টি আপেলকুল দিলে আয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা ফাইয়াজের আপেলকুলের সংখ্যার তিনগুণ হতো । আর আয়াজের আপেলকুল থেকে ফাইয়াজকে 20টি দিলে ফাইয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা আয়াজের সংখ্যার দ্বিগুণ হতো । কার কতগুলো আপেলকুল ছিল ?
সমাধান :
মনে করি, ফাইয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা x এবং আয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা y
১ম শর্তানুসারে, y + 10 = 3 (x – 10 )
বা, y + 10 = 3x – 30
বা, 3x – y = 10 + 30
বা, 3x – y = 40………………(1).
২য় শর্তানুসারে, x + 20 = 2(y – 20)
বা, x + 20 = 2y – 40
বা, x – 2y = – 40 – 20
বা, x – 2y = −60……………..(2)
সমীকরণ (1) কে 2 দ্বারা গুণ করে তা থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করে পাই,
5x=140
x =140/5 = 28
x এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই,
3 x 28 – y = 40
বা, – y = 40 – 84
বা, – y = –44
y = 44
.. ফাইয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা 28 টি
আয়াজের আপেলকুলের সংখ্যা 44 টি
উদাহরণ ৩।
10 বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল 4:1। 10 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে 2:1 । পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, বর্তমানে পিতার বয়স x বছর
এবং পুত্রের বয়স ) বছর
১ম শর্তানুসারে, (x – 10 ) : ( y – 10 ) = 4:1
বা, x-10/y-10 = 4/1
বা, x-10=4y-40
বা,x-4y=10-40
x-4y=-30……..(1)
২য় শর্তানুসারে, (x + 10) : (y+10) = 2:1
বা, x +10/y+10 = 2/1
বা, x+10=2y+20
বা, x-2y=20-10
.x-2y=10……(2)
সমীকরণ (1) ও (2) হতে পাই,
x – 4y = – 30
x – 2y = 10
– 2y = – 40 [ বিয়োগ করে ]
y এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
x – 2 x 20 = 10
বা, x = 10 + 40
x = 50
বর্তমানে পিতার বয়স 50 বছর এবং পুত্রের বয়স 20 বছর ।
উদাহরণ ৪।
দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয় । কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে । সংখ্যাটি নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ।
সংখ্যাটি = x + 10y.
১ম শর্তানুসারে, x + y +7=3y
বা, x + y – 3y = -7
বা, x – 2y = −7…(1)
২য় শর্তানুসারে, x + 10y-18 = y +10x
বা, x+10y-y-10x=18
বা, 9y-9x=18
বা, 9(y-x)=18
বা, y-x =18/2 = 9
y-x=2………….(2)
(1) ও (2) নং যোগ করে পাই, – y = −5 ..y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
x-2 x 5 =-7
x=3
নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10x 5 = 3 +50 = 53
উদাহরণ ৫।
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, ভগ্নাংশটি, x/y , y#0
১ম শর্তানুসারে, x+7/y = 2
বা, x + 7 = 2 y
বা, x – 2y = -7………(I)
২য় শর্তানুসারে, x/ y-2 = 1
বা, x = y − 2
বা, x – y = -2…(2)
সমীকরণ (1) ও (2) হতে পাই,
x – 2y = -7
x – y = -2
y = -5 [ বিয়োগ করে ]
y = 5আবার, y = 5 সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
x – 5 = – 2
x=5-2=3
:. x = 5 – 2 = 3
নির্ণেয় ভগ্নাংশ 3/5