এক চলক সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণ ও তার সমাধান

আজকে আমরা  এক চলক সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণ ও তার সমাধান সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।

 

 

এক চলক সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণ ও তার সমাধান

আমরা জানি, চলকের যে মান বা মানগুলোর জন্য সমীকরণের উভয় পক্ষ সমান হয়, ঐ মান বা মানগুলোই সমীকরণের মূল (Root) এবং ঐ মান বা মানগুলোর দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ে এক চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দুই চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে। সমীকরণের মূলগুলো মূলদ সংখ্যা হলে, ax2 +bx+ c = 0 সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সহজেই তার সমাধান করা যায়।

কিন্তু যেকোনো রাশিমালাকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না। সে জন্য যেকোনো প্রকার দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়।

এক চলক সংবলিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ ax2 + bx + c = 0। এখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0। আমরা দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি,

ax2 + bx + c = 0

বা, a2x2 + abx + ac = 0 [উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে ]

বা, (ax)² + 2(ax)b/2 + (b/2)² – (b/2)² + ac = 0

বা, (ax + b/2)² = b²/4 – ac

বা, (ax + b/2)² = (b² – 4ac)/4

বা, ax + b/2 = ±√(b² – 4ac)/2 [উভয় পক্ষের বর্গমূল করে]

বা, ax = – b/2 ±√(b² – 4ac)/2

বা, x = – b ±√(b² – 4ac)/2a ………..(1)

অতএব, x এর দুইটি মান পাওয়া গেল এবং মান দুইটি হচ্ছে

x1 = – b ±√(b² – 4ac)/2a …………. (2) এবং  x2 = – b ±√(b² – 4ac)/2a ………. (3)

উপরের (1) নং সমীকরণে b2 – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে কারণ ইহা সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।

 

 

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি

ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে

ক) b2 – 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

খ) b2 – 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

গ) 62 – 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে, এক্ষেত্রে x = b 2a

ঘ) b2 – 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

উদাহরণ ১.

x2 – 5x + 6 = 0 এর সমাধান কর।

সমাধান:

ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় a = 1, b = –5 এবং c = 6।

অতএব সমীকরণটির সমাধান(-5)

x = – (-5) ±√(-5)² – 4.1.6)/2.1

= 5 ±√(25 – 24)/2

= (5 ±√1)/2

= (5 ± 1)/2

বা, x = (5+1)/2 . (5-1)/2

অর্থাৎ x1 = 3, x2 = 2

 

 

উদাহরণ ২.

x2 – 6x + 9 = 0 এর সমাধান কর।

সমাধান:

ax2 + bc + c = = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় a = 1, b = -6 এবং c = 9। অতএব সমীকরণটির সমাধান

x = -(-6) ± √(-6)² – 4.1.9/ 2.1

= 6±√(36-36)/ 2

= 6±0/ 2

অর্থাৎ x1 = 3, x2 = 3

উদাহরণ ৩.

x2 – 2x – 2 = 0 এর সমাধান কর।

সমাধান:

ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় a = 1, b = -2 এবং c = −2। অতএব সমীকরণটির সমাধান

x = 2±√(-2)²-4-1-(-2)/2.1

= 2±√(4+8)/ 2

= 2±√12/ 2

= 2±2√3/ 2

= 2(1±√3)/ 2

= 1±√3

অর্থাৎ x1= 1+√3, x2 = 1-√3

এখানে লক্ষণীয় যে, সাধারণ নিয়মে মূলদ সংখ্যার সাহায্যে x2 – 2x – 2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা না গেলেও প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান করা সম্ভব হয়েছে।

 

 

উদাহরণ ৪.

3 – 4x – x2 = 0 এর সমাধান কর।

সমাধান: ax2 +bx+ c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় a = – 1, b = −4, c = 3। অতএব সমীকরণটির

সমাধান

x= -(-4)±√(-4)² – 4 · (−1) · 3/2.(-1)

= 4±√16+12/(-2)

= 4±√28/(-2)

= 4±2√7/(-2)

বা, x = − (2±√7)

অর্থাৎ, x1= -2+√7, x2 = -2+√7

সূত্রের সাহায্যে নিচের সমীকরণগুলোর সমাধান কর :

অনুশীলনী

১. 2x²+9x+9=0

২. 3 – 4x -2×2 = 0

৩. 4x – 1 – x2 = 0

৪. 2x² – 5x – 1= 0

৫. 3x²+7x+1=0

৬. 2-3x²+9x=0

৭.x²-8x+16=0

৮. 2x²+7x-1=0।

৯. 7x-2-3×2 = 0