মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ

আজকে আমরা  মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ সম্পর্কে  আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।

 

 

মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ

সমীকরণে চলকের বর্গমূল সংবলিত রাশি থাকলে তাকে বর্গ করে বর্গমূল চিহ্নমুক্ত নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়। উক্ত সমীকরণ সমাধান করে যে মূলগুলো পাওয়া যায় অনেক সময় সবগুলো মূল প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। এ ধরনের মূল অবান্তর (Extraneous) মূল।

সুতরাং মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ সমাধান প্রক্রিয়ায় প্রাপ্ত মূলগুলো প্রদত্ত সমীকরণের মূল কিনা তা অবশ্যই পরীক্ষা করে দেখা দরকার। পরীক্ষার পর যে সব মূল উক্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে তাই হবে প্রদত্ত সমীকরণের মূল। নিচে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হলো।

উদাহরণ ৫.

সমাধান কর: √ (8x + 9) – √(2x + 15) = √(2x-6)

সমাধান:

√ (8x + 9) – √(2x + 15) = √(2x-6)

বা, √ (2x + 15) + √(2x – 6 )= √(8x + 9)

বা, 2x + 15 + 2x – 6 + 2√ (2x + 15)√(2x – 6 ) = 8x + 9 [বর্গ করে]

বা, √ (2x + 15) √(2x – 6 )= 2x

বা, (2x + 15 ) ( 2x – 6 ) = 4×2 [পুনরায় বর্গ করে]

বা, 4×2 + 18x – 90 = 4×2

বা, 18x = 90

x = 5

শুদ্ধি পরীক্ষা:

x = 5 হলে, বামপক্ষ = √49 – √25 = 7 – 5 = 2 এবং ডানপক্ষ = √4 = 2

নির্ণেয় সমাধান x = 5

 

 

উদাহরণ ৬.

সমাধান কর:

√ (2x + 8) – 2√(x + 5) + 2 = 0

সমাধান

√ (2x + 8) – 2√(x + 5) – 2

বা, 2x + 8 = 4 ( x + 5) + 4 – 8 √(x + 5) [বর্গ করে ]

বা, 8V +5 = 4x + 20 + 4 – 2x – ৪ [পক্ষান্তর করে]

বা, 8√(x + 5) = 2x+16 = 2(x+8)

বা, 4√(x + 5) = x+8

বা, 16 (x + 5) = x2 +16x + 64 [বর্গ করে ]

বা, 16x+80= x²+16x+64

বা, 16 = x2

x = ±√16 = ±4

শুদ্ধি পরীক্ষা:

x = 4 হলে, বামপক্ষ = √16 – 2√9 +2 = 4 – 2×3 + 2 = 0 = ডানপক্ষ

x = − 4 হলে, বামপক্ষ = √(-8+ 8) -2√(- 4 + 5) + 2 =0 – 2 x 1 + 2 = 0 = ডানপক্ষ

নির্ণেয় সমাধান,x = 4 – 4

 

 

উদাহরণ ৭.

সমাধান কর:

√(2x + 9 ) – √ (x– 4) =  √ (x+ 1)

বা, 2x + 9 + x – 4 – 2√2x + 9√x – 4 = x + 1 [বর্গ করে]

বা, 2x+4-2√(2x+9)√(x-4) = x + 1

বা, √(2x+9)√(x-4) = x +2

বা, ( 2x + 9 ) (x – 4 ) = x 2 + 4x + 4 [বর্গ করে]

বা, 2x²+x-36 = x²+4x+4

বা, x²-3x-40 = 0

বা, (x-8)(x+5)=0

x = 8  অথবা  x=-5

শুদ্ধি পরীক্ষা:

x = ৪ হলে, বামপক্ষ = 5 – 2 = 3 এবং ডানপক্ষ = 3

অতএব, x = ৪ প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল।

X = –5 গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা সমীকরণে x = −5 বসালে ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল আসে যা সংজ্ঞায়িত নয়।

.: নির্ণেয় সমাধান x = 8

মন্তব্য:

এমনকি জটিল সংখ্যায় সমাধান বের করলেও x = – 5 গ্রহণযোগ্য হয় না । উদাহরণ ৮. সমাধান কর: √(x – 1 ) (x – 2 ) + √ (x – 3) (x – 4 ) = √2

সমাধান:

√(x – 1) (x – 2) + √(x – 3) (x – 4) = √2

বা, √(x2 – 3x + 2) – √2 = √(x2 – 7x +12)

বা, x2 – 3x + 2 – 2√2√ (x2 – 3x + 2 )+ 2 = x2 – 7x + 12 [বর্গ করে]

বা, √(2×2 – 6x + 4) = 2x – 4

বা, 2×2 – 6x + 4 = ( 2x – 4 ) 2 = 4x 2 – 16x + 16 [বর্গ করে]

বা, x2 – 5x + 6 = 0

বা, (x – 2 ) (x – 3) = 0

.: x = 2 অথবা x = 3 ।

শুদ্ধি পরীক্ষা:

x = 2 হলে, বামপক্ষ = √2 = ডানপক্ষ

X= 3 হলে, বামপক্ষ = √2 = ডানপক্ষ

নির্ণেয় সমাধান = 2, 3

 

 

উদাহরণ ৯.

সমাধান কর: √(x2 – 6 + 15)- √(x²-6x + 13) = √10-√8

সমাধান:

√(x2 – 6 + 15)- √(x²-6x + 13) = √10-√8

এখন x2 – 6x + 13 = y ধরলে প্রদত্ত সমীকরণ হবে

বা, √(y+2)+√8 = √y+ √10

বা, y+2+8+2√(8y +16) = y + 10+2√10y [বর্গ করে]

বা, √(8y+16)= √10y

বা, ৪y + 16 = 10y [বর্গ করে ]

বা, 2y = 16 বা, y = 8

বা, x2 – 6x + 13 = 8 [y এর মান বসিয়ে]

বা, x2 – 6x + 5 = 0 বা, (x – 1 ) ( x – 5 ) = 0

x = 1 অথবা 5 ।

শুদ্ধি পরীক্ষা:

x = 1 হলে, বামপক্ষ = √10 – √8 = ডানপক্ষ

x= 5 হলে, বামপক্ষ = √10 – V8 = ডানপক্ষ

নির্ণেয় সমাধান x = 1,5

উদাহরণ ১০.

সমাধান কর:

(1 + x)1/3 + ( 1 – x)1/3 } = 21/3

সমাধান:

(1 + x)1/3 + ( 1 – x)1/3 } = 21/3

বা, 1 + x + 1 − x + 3 · (1 + x)1/3 (1 – x)1/3} {(1+x)1/3 + (1 – x)1/3} = 2 [ঘন করে]

বা, 2 + 3 (1 + x)1/3 (1 – x )1/3 – 21/3 = 2

বা, 3 . 21/3 · (1 + x)1/3 · (1 – x) 1/3 = 0

বা, (1 + x)1/3 (1 – x) 1/3 = 0

বা, (1 + x) ( 1 − x ) = 0 [আবার ঘন করে]

x = 1 এবং x = −1 উভয়ই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।

নির্ণেয় সমাধান x = ±1

 

 

অনুশীলনী

সমাধান কর:
১. √x-4+2 = √x+12

২. √11x-6= √4x+5+ √x−1

৩. √2x+7+ √3x-18 = √7x+1

৪. √x +4+√x + 11 = √8x+9

৫. √11x-6= √4x+5−√x−1

৬. √x²-8+ √x² – 14 = 6

৭. √x²-6x+9 −√x²-6x+6=1

৮. √x-2-√x – 9=1

৯. 6√(2x/x-1) + 5√(x-1/2x) =13

১০. √(x-1)/(3x+2) +2 √(3x+2)/(x-1)= 3