আজকে আমরা দ্বিঘাত সহসমীকরণের ব্যবহার সম্পর্কে আলোচনা করবো । যা উচ্চতর গণিতের সমীকরণ অংশের অন্তর্গত।
দ্বিঘাত সহসমীকরণের ব্যবহার
সহসমীকরণের ধারণা ব্যবহার করে দৈনন্দিন জীবনের বহু সমস্যার সমাধান করা যায়। অনেক সময় সমস্যায় দুইটি অজ্ঞাত রাশির মান নির্ণয় করতে হয়। সেক্ষেত্রে অজ্ঞাত রাশি দুইটি x এবং বা অন্য যেকোনো দুইটি স্বতন্ত্র প্রতীক ধরতে হয়। তারপর সমস্যার শর্ত বা শর্তগুলো থেকে পরস্পর অনির্ভর, সঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ গঠন করে সমীকরণ জোটের সমাধান করলেই অজ্ঞাত রাশি x এবং y এর মান পাওয়া যায়।
উদাহরণ ২৪.
দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 650 বর্গমিটার। ঐ দুইটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 323 বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্র দুইটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার এবং অপরটির বাহুর দৈর্ঘ্য y মিটার।
প্রশ্নমতে, x2 + y2 = 650 ………. (1)
এবং, xy = 323 ……………………..(2)
(x + y)² = x² + y²+2xy=650+646 = 1296
অর্থাৎ, (x + y) = ±√ 1296 = ±36
এবং, (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy = 650 – 646 = 4
অর্থাৎ (x – y ) = ±2
যেহেতু দৈর্ঘ্য ধনাত্মক, সেহেতু x + y এর মান ধনাত্মক হতে হবে।
(x + y) = 36 …………..(3) এবং (x – y) = ±2 ………….. (4)
যোগ করে, 2x = 36 ± 2
x = 36±2/ 2 = 18 ± 1 = 19 বা, 17
সমীকরণ (3) থেকে পাই, y = 36 – x = 17 বা, 19।
একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 19 মিটার এবং অপর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 17 মিটার।
উদাহরণ ২৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = y মিটার
প্রশ্নমতে, 2y = 1 + 10… (1)
xy = 600 (2)
সমীকরণ (1) থেকে পাই, y = (10+x)/2
সমীকরণ (2) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
x (10+x)/2 = 600
বা, (10x+x2)/2 = 600
বা, 10x+x2 = 1200
বা, x + 10 – 1200 = 0
বা, (x + 40 ) ( x – 30 ) = 0
সুতরাং, 2 + 40 = 0 বা, 3 – 30 = 0
অর্থাৎ, x = − 40 বা, x = 30
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। x = 30
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 30 মিটার।
উদাহরণ ২৬
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় 3, সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান:
মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x +y
প্রথম শর্তানুসারে, (10x+ y)/xy = 3
বা, 10x + y = 3xy (1)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 10x + y + 18 = 10y+ x
বা, 9x-9y + 18 = 0
বা, x – y + 2 = 0 বা, y = x + 2… (2)
সমীকরণ (1) এ y = x + 2 বসিয়ে পাই, 10x + x + 2 = 3x(x + 2)
বা, 11x + 2= 3x 2 + 6x
বা, 3×2 – 5x – 2 = 0
বা, 3×2 – 6x + x – 2 – 0
বা, 3x(x – 2 ) + 1 (x – 2 ) = 0
বা, (x – 2 ) (3x + 1) = 0
সুতরাং x – 2 = 0 অথবা 3x+ 1 = 0
অর্থাৎ, 12 = 2 বা, 2 = 1
কিন্তু সংখ্যার অঙ্ক ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না।
সুতরাং x = 2 এবং y = x + 2 = 2 + 2 = 4
সংখ্যাটি 24
অনুশীলনী
১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 481 বর্গমিটার। ঐ দুইটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 240 বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্র দুইটির প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ কত?
২. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 250 সংখ্যা দুইটির গুণফল 117, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
৩. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার। ইহার বাহুদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফলের সমান দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বাহুদ্বয় দ্বারা অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 28 বর্গমিটার হলে, প্রথম আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
৪. দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর নির্ণয় কর।
৫. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার। অপর একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অপেক্ষা যথাক্রমে 4 মিটার এবং 1 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার। প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
৬. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 23 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
৭. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে এর অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 2 হয়। সংখ্যাটির সাথে 27 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
৯. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং কর্ণ 20 মিটার। ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
১০. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার এবং এর অর্ধপরিসীমা একটি কর্ণ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
১১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহু ও দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49। বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বোচ্চ কত হতে পারে?