মূল এর ব্যাখ্যা

আজকে আমরা  মূল এর ব্যাখ্যা  আলোচনা করবো  । যা উচ্চতর গণিতের  সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন অংশের অন্তর্গত।

 

 

মূল এর ব্যাখ্যা

সংজ্ঞা: n ∈ N,n > 1 এবং a∈ R হলে, যদি এমন x ∈ R থাকে যেন xn = a হয়, তবে সেই কে a এর একটি n তম মূল বলা হয়।

n = 2 হলে মূলকে বর্গমূল এবং n = 3 হলে মূলকে ঘনমূল বলা হয়।

উদাহরণ ৫.

ক) 2 এবং – 2 উভয়ই 16-এর 4 তম মূল, কারণ ( 2 ) 4 = 16 এবং (-2) 4 = 16

খ) – 27 এর ঘনমূল – 3, কারণ ( 3 ) 3 = -27

গ) 0 এর n তম মূল 0, কারণ সকল n∈N, n > 1 এর জন্য 0n = 0

ঘ) – 9 এর কোনো বর্গমূল নেই, কারণ যে কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক।

এখানে উল্লেখ্য যে,

(i) যদি a > 0 এবং n ∈ N, n > 1 হয়, তবে এর একটি অনন্য ধনাত্মক, n তম মূল আছে। এই ধনাত্মক মূলকে n√a দ্বারা সূচিত করা হয় (2√a এর স্থলে √a লেখা হয়) এবং একে এর মুখ্য n তম মূল বলা হয়। n জোড় সংখ্যা হলে এরূপ a এর অপর একটি n তম মূল আছে এবং তা হলো – n√a

(ii) যদি a < 0 এবং n ∈N, n > 1 বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে এর একটি মাত্র n তম মূল আছে যা ঋণাত্মক। এই মূলকে – n√a দ্বারা সূচিত করা হয়। n জোড় হলে এবং a ঋণাত্মক হলে a – এর কোন n তম মূল নেই।

(iii) 0 এর n তম মূল n√0 = 0

 

 

দ্রষ্টব্য:

১. a > 0 হলে n√a > 0

২. a <0 এবং n বিজোড় হলে, n√a = n√ |a| < 0 [যেখানে |a| হচ্ছে a  এর পরমমান]

উদাহরণ ৬.

√4 = 2, ( √4≠ – 2), 3√-8 = -2 = –3√ 2,

√a2 = |a| = a, যখন a ≥ ,0 – a, যখন a < 0

সূত্র ৭.

a < 0, n ∈ N, n > 1 এবং n বিজোড় হলে দেখাও যে, n√a = – n√ |a|

প্ৰমাণ

n√a = n√ |a| [a < 0] = V/ (-1)^|a| [ n বিজোড়

= n√(-1) |a|

= -n√ |a|

সুতরাং, n√a = – n√ |a|

উদাহরণ ৭.

– 3√27 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

– 3√27 = -2/ (3) 3 = – 3

 

সূত্র ৮.

a > 0, m ∈ Z এবং n ∈ N, n > 1 হলে, (n√a) = n√am

প্রমাণ:

মনে করি, n√a = x এবং n√am = y

তাহলে, xn= a এবং yn = am

yn = am  = (xn)m = (xm)n

যেহেতু y > 0, xm > 0, সুতরাং মুখ্য n তম মূল বিবেচনা করে পাই, y = xm

বা, n√am = (n√a)m

অর্থাৎ, (n√a)m = n√am

সূত্র ৯.

যদি a > 0 এবং m/n= p/q হয়, যেখানে m, p∈Z এবং n, q ∈ N,n > 1, q > 1 তবে,

n√am = q√ap

প্রমাণ:

এখানে, qm = pn

মনে করি, n√am = x তাহলে, xn = am

বা, (xn)q = (am)q

বা, xnq = amq = apn

বা, (xq)n = (ap)n

বা, xq = aP [মুখ্য n তম মূল বিবেচনা করে]

বা, x = q√ap

অর্থাৎ, n√am = q√ap

অনুসিদ্ধান্ত ১.

যদি a > 0 এবং n, k ∈ N, n > 1 হয়, তবে, n√a = nk√a