অবস্থান ভেক্টর

আজকের আলোচনার বিষয়ঃ অবস্থান ভেক্টর ।  যা উচ্চতর গণিতের  সমতলীয় ভেক্টর অংশের অন্তর্গত।

 

 

অবস্থান ভেক্টর

সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু O সাপেক্ষে ঐ সমতলের যেকোনো P বিন্দুর অবস্থান OP দ্বারা নির্দিষ্ট করা যায়। OP কে O বিন্দু সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলা হয় এবং O বিন্দুকে ভেক্টর মূলবিন্দু (origin) বলা হয় ৷

 

 

মনে করি, কোনো সমতলে O একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একই সমতলে A অপর একটি বিন্দু। O, A যোগ করলে উৎপন্ন OA ভেক্টর O বিন্দুর পরিপ্রেক্ষিতে A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলা হয় । অনুরূপভাবে, একই O বিন্দুর প্রেক্ষিতে একই সমতলে অপর B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর OB।

A, B যোগ করি। মনে করি, OA = a, OB = b

তাহলে OA + AB = OB অর্থাৎ a + AB = b

∴ AB = b – a

 

 

সুতরাং, দুইটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর জানা থাকলে তাদের সংযোজক রেখাংশ দ্বারা সূচিত ভেক্টর ঐ ভেক্টরদ্বয়ের প্রান্তবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করে পাওয়া যাবে।

দ্রষ্টব্য:

মূলবিন্দু ভিন্ন ভিন্ন অবস্থানে থাকলে একই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ভিন্ন ভিন্ন হতে পারে। কোনো নির্দিষ্ট প্রতিপাদ্য বিষয়ের সমাধানে এ বিষয়ের বিবেচনাধীন সকল বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর একই মূলবিন্দুর সাপেক্ষে ধরা হয়।

 

 

কতিপয় উদাহরণ

উদাহরণ ১.

দেখাও যে,

ক) – (a) = a

খ) -m(a) = m (-a) = – (ma ) যেখানে m একটি স্কেলার

গ) 1a/|a| একটি একক ভেক্টর যার দিক ও  a এর দিক একই

সমাধান:

ক) বিপরীত ভেক্টরের ধর্ম অনুযায়ী a + (-a) = 0

আবার (−a) + (- (-a)) = 0

.:. (-(-a)) = a [ভেক্টর যোগের বর্জনবিধি]

খ) ma + (−m) a = [m + (- m)]a = 0a = 0

( – m) a = – ma ……….. ( 1 )

আবার ma + m(-a) = m [a + (-a) ] = m0 = 0

..m(-a) = -ma. ….. (2)

(1) এবং (2) থেকে (-m) a = m (-a) = -ma

গ) a ≠ 0 হওয়ায় |a| ≠ 0

মনে করি,  a = 1a/|a|

তাহলে |a| = 1|a|/|a| = 1 এবং a এর দিক ও  a এর দিক একই। সুতরাং a একটি একক ভেক্টর যার দিক a মুখী

উদাহরণ ২.

ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD

ক) AC এবং BD ভেক্টরদ্বয়কে AB এবং AD ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ) AB এবং AD ভেক্টরদ্বয়কে AC এবং BD ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

 

 

সমাধান :

ক) AC = AD + DC = AD + AB

আবার, AB + BD = AD বা, BD = AD – AB

খ) যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয়,

AB = AO + OB = 1/2AC + 1/2DB = 1/2AC – 1/2BD

এবং AD = AO + OD = 1/2AC + 1/2BD

উদাহরণ ৩.

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

সমাধান:

মনে করি, ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D ও E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE || BC এবং DE = 1/2BC

 

 

ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AE – AD = DE …… (1)

এবং AC – AB = BC

কিন্তু AC = 2AE, AB = 2AD [ :: D, E বিন্দু যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু]

AC – AB = BC থেকে পাই

2AE -2AD = BC, অর্থাৎ 2(AE – AD) = BC

2DE = BC [(1) হতে]

DE = 1/2BC

এবং |DE| = 1/2|BC|

DE = 1/2Вс

সুতরাং DE ও BC ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং DE ও BC ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ DE এবং BC সমান্তরাল।

 

 

উদাহরণ ৪.

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সমাধান:

মনে করি, ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

 

 

মনে করি, AO = a, BO = b, OC = c, oD = d

প্রমাণ করতে হবে যে, |a| = |c|, |b| = |d|

AO + OD = AD এবং BO + OC = BC

যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, AD = BC

অর্থাৎ AO + OD = BO + OC

বা, a + d = b + c

বা, a – c = b – d [উভয় পক্ষে – c -d যোগ করে ]

এখানে a ও c এর ধারক AC

∴ a – c এর ধারক AC

b ও d এর ধারক BD,

b – d এর ধারক BD

a – c ও b – d দুইটি সমান অশূন্য ভেক্টর হলে তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।

কিন্তু AC, BD দুইটি পরস্পরছেদী অসমান্তরাল সরলরেখা।

সুতরাং a – c ও b – d ভেক্টরদ্বয় অশূন্য হতে পারে না বিধায় এদের মান শূন্য হবে।

a – c = 0 বা a = c এবং b – d = 0 বা b = d

|a| = |c| এবং |b| = |d|

অর্থাৎ, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

 

 

উদাহরণ ৫.

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাসমূহ একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

সমাধান:

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু P, Q, R, S। P ও Q,Q ও R, R ও S, S ও P যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

 

 

মনে করি, AB = a, BC=b, CD = c, DA = d

তাহলে, PQ = PB + BQ = 1/2AB + 1/2 BC = 1/2 (a + b)

অনুরূপভাবে, QR = 1/2(b + c), RS = 1/2(c + d) এবং SP = 1/2(d+a)

কিন্তু (a+b) + (c+d) = AC+CA = AC – AC = 0

অর্থাৎ (a+b)=-(c+d)

∴ PQ = 1/2(a + b) = −1/2 (c + d)

= – RS = SR

∴ PQ এবং PS সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল।

∴ PQRS একটি সামান্তরিক।

 

অবস্থান ভেক্টরের মান নির্ণয় নিয়ে বিস্তারিত ঃ

 

 

আরও দেখুনঃ

• সরলরেখার সমীকরণ