আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ n তম মূল। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সূচক ও লগারিদম এর অন্তর্গত।
n তম মূল
অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যা বা রাশিকে সূচকের সাহায্যে লিখে অতি সহজে প্রকাশ করা যায়। ফলে হিসাব গণনা ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান সহজতর হয়। তাছাড়া সূচকের মাধ্যমেই সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ প্রকাশ করা হয়। তাই প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সূচকের ধারণা ও এর প্রয়োগ সম্পর্কে জ্ঞান থাকা আবশ্যক।
সূচক থেকেই লগারিদমের সৃষ্টি। লগারিদমের সাহায্যে সংখ্যার বা রাশির গুণ, ভাগ ও সূচক সম্পর্কিত গণনার কাজ সহজ হয়েছে। ক্যালকুলেটর ও কম্পিউটার এর ব্যবহার প্রচলনের পূর্ব পর্যন্ত বৈজ্ঞানিক হিসাব ও গণনায় লগারিদমের ব্যবহার ছিল একমাত্র উপায়। এখনও এগুলোর বিকল্প হিসাবে লগারিদম এর ব্যবহার গুরুত্বপূর্ণ।
লক্ষ করি, 51/2 x 51/2 = (51/2)2
আবার, 51/2 x 51/2 = = 51/2 + 1/2 = 52 x 1 = 5
(51/2)² = 5
51/2 এর বর্গ (দ্বিতীয় ঘাত) = 5 এবং 5 এর বর্গমূল (দ্বিতীয় মূল) = 52
51/2 কে বর্গমূলের চিহ্ন √ এর মাধ্যমে √5 আকারে লেখা হয়।
আরো লক্ষ করি, 51/3 × 51/3 × 51/3 = (51/3)3
আবার, 51/3 x 51/3 x 51/3 = 51/3+1/3+51/3 = 53×1/3 = 5
51/3 এর ঘন (তৃতীয় ঘাত) = 5 এবং 5 এর ঘনমূল (তৃতীয় মূল) = 51/3
51/3 কে ঘনমূলের চিহ্ন ∛ এর মাধ্যমে ∛5 আকারে লেখা হয়।
n তম মূলের ক্ষেত্রে,
a1/n x a1/n x a1/n … × a1/n [n সংখ্যক a1/n এর ক্রমিক গুণ] = (a1/n)n
আবার, a1/n x a1/n x a1/n x ……..x a1/n
= a1/n+1/n+1/n+…..+1/n [সূচকে n সংখ্যক ≤ এর যোগ]
= an x 1/n = a
(a1/n)n = a
(a1/n) এর n তম ঘাত a এবং a এর n তম মূল a1/n
অর্থাৎ, a1/n এর n তম ঘাত (a1/n)n = a এবং a এর n তম মূল (a)1/n = a1/n = n√ a এর n তম মূলকে / a আকারে লেখা হয়।
উদাহরণ ৪.
সরল কর:
ক) (12)−1/2 × ∛54
খ) (-3)³× (-1/2)2
সমাধান :
ক) (12)−1/2 × ∛54
= 1/ (12)1/2 × 541/3
= 1/ (22 × 3)1/2 × (33 × 2)1/3
= 1/ (22)1/2 × 31/2 × (33)1/3 × (2)1/3
= 1/ 2. 31/2 × (33× 2)1/3
= (21/3)/21 × 31.(3)1/3
= ( 3^1-1/2)/(2^1-1/3)
= ( 3^1/2)/(2^2/3)
= ( 3^1/2)/(4^1/3)
= √ 3/∛4
খ) (-3)³× (-1/2)2
= (-3) (-3)(−3) × (-1/2) (-1/2) = -27 x 1/4 = -27/4
লক্ষণীয়:
ক) a > 0, a ≠ 1 শর্তে ax = ay হলে x = y
খ) a > 0, b > 0, x ≠ 0 শর্তে ax = bx হলে a = b
উদাহরণ ৫.
সমাধান কর: 4x+1 = 32
সমাধান:
4x+1 = 32
বা, (22)x+1 = 32
বা, 22x+2 = 2^5
বা, 2x+2 = 5 [ax = ay হলে, x = y]
বা, 2x = 5 – 2
বা, 2x = 3
x = 3/2