আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ গণিতে সূচক। এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের সূচক ও লগারিদম এর অন্তর্গত।
গণিতে সূচক
আমরা ষষ্ঠ শ্রেণিতে সূচকের ধারণা পেয়েছি এবং সপ্তম শ্রেণিতে গুণের ও ভাগের সূচক নিয়ম সম্পর্কে জেনেছি। সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে সূচকীয় রাশি বলা হয়।
a যেকোনো বাস্তব সংখা এবং n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, n সংখ্যক a এর ক্রমিক গুণ হলো an। অর্থাৎ, a × a × a x … X a n সংখ্যক বার a) = a”। এখানে, n হলো সূচক বা ঘাত এবং a হলো ভিত্তি। আবার, বিপরীতক্রমে a” = a x a x a x … x a (n সংখ্যক বার a)।
সূচক শুধু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই নয়, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক ভগ্নাংশও হতে পারে। অর্থাৎ, ভিত্তি a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং সূচক nEQ (মুলদ সংখ্যার সেট) এর জন্য a” সংজ্ঞায়িত। বিশেষ ক্ষেত্রে, nEN (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট) ধরা হয়। তাছাড়া অমূলদ সূচকও হতে পারে। তবে সেটা মাধ্যমিক স্তরের পাঠ্যসূচি বহির্ভূত বলে এখানে আর আলোচনা করা হয় নি।
সূচকের সূত্রাবলি (Index Laws )
ধরি, a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং m, n ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট)।
সূত্র ১ (গুণ),
am x an = am+n
সূত্র ২ (ভাগ).
am/an = an-m যখন m ≥ n
1/an-m যখন n > m
নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ কর:
| a ≠ 0,m> n, m = 5, n = 3 | a ≠ 0,n> m, m = 3, n = 5 |
| a5 × a³ = (a×a×a×a×a)×(a×a×a) = = axaxaxaxaxaxaxa = a8 = a5+3 | a³ × a5 = |
| a5/a³ = | a³/a5 =(a×a×a)/(a×a×a×a×a) = 1/a2 = 1/a5-3 |
mnm >n a 1 an-m যখন n > m … সাধারণভাবে am × an = am+n এবং
am/an = am-n যখন m ≥ n
1/an-m যখন n > m
সূত্র ৩ (গুণফলের ঘাত)
(ab)n = an x bn
লক্ষ করি, (5 × 2)³ = (5 × 2) × (5 × 2) × (5 × 2) [·.· a³ = a × a × a, a = 5 × 2]
= (5 × 5 × 5) x (2 × 2 × 2)
= 53 x 23
সাধারণভাবে, (ab)n = abx ab x ab x x ab [n সংখ্যক ab এর ক্রমিক গুণ]
= (a×a×a×………..×a) × (b×b×b×…×b)
= an × bn
সূত্র ৪ (ভাগফলের ঘাত)
(a/b)n = an/bn,(b≠0)
লক্ষ করি, (5/2) = 5/2 × 5/2 × 5/2 =53/23
সাধারণভাবে,
(a/b)n = a/b ×a/b×a/b×a/b× …………. a/b)[n সংখ্যক a/b এর ক্রমিক গুণ]
= (a×a×a×………..×a)/(b×b×b×…×b)
= an/bn
সূত্র ৫ (ঘাতের ঘাত).
(am)n = amn
(am)n = am × am × am × … × am [n সংখ্যক am এর ক্রমিক গুণ]
= am+m+m…+m [ঘাতে n সংখ্যক সূচকের যোগফল ]
= amxn = amn
(am)n amn
শূন্য ও ঋণাত্মক সূচক (Zero and Negative Indices)
সূচকে সূত্রাবলির প্রয়োগ ক্ষেত্র সকল পূর্ণসংখ্যা সম্প্রসারণের লক্ষে a° এবং an (যেখানে n স্বাভাবিক সংখ্যা) এর সংজ্ঞা দেয়া প্রয়োজন।
সংজ্ঞা ১ (শূন্য সূচক).
a° = 1, (a ≠ 0 )
সংজ্ঞা ২ (ঋণাত্মক সূচক),
a-n = 1/an (a ≠ 0, n∈N)
এই সংজ্ঞা দুইটির ফলে সূচক বিধি m এবং n এর সকল পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য বলবৎ থাকে এবং এরূপ সকল সূচকের জন্য am/an = am-n খাটে।
লক্ষ কর, an/an = an-n = aº
কিন্তু an/an = (a×a×a×a ….×a)(n সংখ্যক)/ (a×a×a×a ….×a)(n সংখ্যক) = 1
aº = 1
আর 1 /an = a⁰ / an = a⁰-n= a-n
উদাহরণ ১.
মান নির্ণয় কর:
ক) 52/53
খ) (2/3)5 × (2/3)-5
সমাধান:
ক) 52/53 = 52-3 = 5-1 = 1/51 = 1/5
খ) (2/3)5 × (2/3)-5 খ) (2/3)5-5 = (2/3)0 = 1
উদাহরণ ২.
সরল কর:
ক) 54 x 8 x 16/ 25 x 125
খ) (3.2n-4.2n-1)/(2n-2n-1)
সমাধান :
ক) 54 x 8 x 16 25 x 125 = 54 x 23 x 24/ 25 x 53 = 54 × 23+4 /53 x 25 = 54 /53 × 27/ 25
= 54-3 x 27-5 = 51 x 22 = 5 x 4 = 20
খ) (3.2n-4.2n-1)/(2n-2n-1) = (3.2n-22.2n-1)/(2n-2n.2-1) = (3.2n-22+n-2)/(2n-2n.1/2)
= (3.2n – 2n)/(1-1/2).2n = (3-1). 2n/1/2.2n = 1 2 = (2.2n)/1/2. 2n =2.2 = 4
উদাহরণ ৩.
দেখাও যে, (ap)q-r. (aq)r-p. (ar)p-q = 1
সমাধান :
(ap)q-r. (aq)r-p. (ar)p-q = 1
= ap(q-r). aq(r-p). ar(p-q) [·.· (am)n = amn]
= a(pq-pr).a(qr-pq) · a(pr-qr) = a(pq-pr + qr-pq + pr-qr) = aº = 1
আরও দেখুনঃ