ধারা সংক্রান্ত সমস্যা আজকের ক্লাসের বিষয় | ধারা সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ক্লাসে থেকে অংক উদাহরণ হিসেবে নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। ধারা সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান, ক্লাসটি গণিত ১ এর একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্লাস। ধারা সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ক্লাসটি পলিটেকনিক ম্যাথম্যাটিকস – ১ (৬৫৯১১) এর ১ম অধ্যায়ের বিষয়।
ধারা সংক্রান্ত সমস্যা
গণিতশাস্ত্রে ধারা বলতে সসীম ধারা বা অসীম ধারা সংখ্যক রাশিকে যোগ করার পদ্ধতিকে বোঝায়।
সসীম ধারাতে n-সংখ্যক রাশি থাকে, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা; n-কে বলা হয় সসীম ধারার দৈর্ঘ্য। সসীম ধারাগুলির (যেমন সমান্তর ধারা বা গুণোত্তর ধারা) সমষ্টি সূত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার প্রথম n-সংখ্যক রাশির সমষ্টি যদি S(n) হয়, এবং S(1), S(2), S(3) এই রাশিগুলি নিয়ে তৈরি গাণিতিক অনুক্রম বা প্রগমনটির যদি কোন সীমা S থাকে, তাহলে S-কে অসীম ধারাটির সসীম সমষ্টি বলা হয়। অন্যথায় অসীম ধারাটির কোনও সমষ্টি হয় না।
অনুক্রম: কতকগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়মানুসারে ধারাবাহিকভাবে সাজানোকে অনুক্রম বলে।
পদ: অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ বলে।
কতগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়মানুযায়ী প্রথম, দ্বিতীয় এভাবে সাজানোই হলো অনুক্রম আর সেই অনুক্রমের পদগুলোর মাঝে + চিহ্ন ব্যবহার করলেই সেটা ধারা।
ধারা দুই প্রকার:
- সসীম ধারা,
- অসীম ধারা
সসীম ধারা আবার দুই প্রকার:
- সমান্তর ধারা ও
- গুণোত্তর ধারা
সসীম বা সান্ত ধারা: কোনো ধারার পদ সংখ্যা সসীম হলে তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলে।
অসীম ধারা: কোনো ধারার পদ সংখ্যা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।
সমান্তর ধারা: কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সর্বদা সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে।
গুণোত্তর ধারা: যে ধারার কোনো পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত সর্বদাই সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।
সমান্তর ধারায় প্রত্যেক পদের মধ্যে একটি সাধারন পার্থক্য থাকে। একে সাধারণ অন্তর বলে। একে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সমান্তর ধারার উদাহরণ: ৫+ ১০+১৫+২০…………… + n তম পদ
সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ: প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে, r তম পদ = a+(r-1)d
সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে, তার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, =2(2+(−1))
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, =(+1)2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, =(+1)(2+1)6
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, =((+1)2)2
গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ: কোনো ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ =−1
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, =(1−)(1−); যেখানে r < 1
n তম পদ =+(−1)
এখানে, a= প্রথম পদ
d= সাধারণ অন্তর
n সংখ্যক পদের সমষ্টি =2[2+(−1)]
ধারা সংক্রান্ত সমস্যা নিয়ে বিস্তারিত ঃ