বহুপদী সমীকরণ ও মূল ম্যাথমেটিক্স – ১ নামক সাবজেক্টের অংশ যার কোর্স কোড ৬৫৯১১। এই ক্লাসটি পলিটেকনিকের শিক্ষার্থী ছাড়াও অন্যান্য শিক্ষার্থীদের কাজে লাগবে।

Table of Contents

বহুপদী সমীকরণ ও মূল

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,$

আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। উল্লেখ্য এখানেও n একটি ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা এবং $a_{0},a_{1},a_{2}.........a_{n}$ সহগ গুলো x বর্জিত সংখ্যা এবং $a_{n}$ অবশ্যই শূন্য নয় কারণ তা সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ।

সাধারণ ধারণা

x এর যে মান গুলোর জন্য বহুপদী -সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয় ঐ মানগুলোকে বহুপদী- সমীকরণের মূল বলা হয়। বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত n হলে এবং n=1,2,3…..n এর জন্য বহুপদী -সমীকরণকে যথাক্রমে সরল বা একঘাত সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, ত্রিঘাত সমীকরণ এবং বহুঘাত সমীকরণ বলা হয়।

বহুপদী সমীকরণের উল্লেখযোগ্য উপপাদ্য

প্রতিটি বহুপদী সমীকরণে কমপক্ষে একটি বাস্তব বা জটিল মূল থাকে।
n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে নির্দিষ্টভাবে n সংখ্যক মূল থাকবে। দুই বা ততোধিক বা সবকয়টি মূল এর মান একই হতে পারে।
যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ হবে f(a) এটি ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত।
যদি কোন বহুপদী রাশি f(x) এর একটি মূল a হয় তবে x-a, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে। এটি উৎপাদক উপপাদ্য নামে পরিচিত।
a+ib যদি কোন বহুপদী- সমীকরণের একটি মূল হয় তবে সমীকরণে নিশ্চিত ভাবে অপর একটি মূল থাকবে যার মান a-ib । a+ib এবং a-ib কে পরষ্পরের অনূবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। অবার $a+{\sqrt {b}}$ যেখানে ${\sqrt {b}}$ অমূলদ সংখ্যা, বহুপদী -সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি হবে $a-{\sqrt {b}}$ এরা পরষ্পরের অনূবন্ধী অমূলদ সংখ্যা।

বহুপদী সমীকরণের মূল সহগ সম্পর্ক

দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ

কোন বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যদি দুই হয় তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী বলা হয়ে থাকে। $ax^{2}+bx+c=0$ একটি দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ। বহুপদী- সমীকরণের স্বীকার্য মতে এতে দুইটি মূল থাকবে। একটি মূলকে $\alpha$ এবং অপর মূলকে $\beta$ ধরা হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক হবে-

$\alpha +\beta =-b/a$

$\alpha \beta =c/a$

আবার সমীকরণকে লিখা যায়-

$(x-\alpha )(x-\beta )=0$ অথবা $x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি

$ax^{2}+bx+c=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ(a≠0) হলে $b^{2}-4ac$ এর মানকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলা হয়। নিশ্চায়কের মানের উপর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে।

$b^{2}-4ac>0$ হলে মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান

b^{2}-4ac>0

এর মান পূর্ণ বর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ এবং

b^{2}-4ac>0

এর মান পূর্ণ বর্গ না হলে মূলদ্বয় অমূলদ এবং অমূলদ মূলদ্বয় পরষ্পরের অনুবন্ধী।

$b^{2}-4ac<0$ হলে মূলদ্বয় জটিল এবং পরষ্পরের অনুবন্ধী।

$b^{2}-4ac=0$ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। এবং দ্বিপদী রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ।

অন্যান্য

$ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণে

দুটি মূল পরস্পরের সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি b=0 হয়।

কমপক্ষে একটি মূল শূণ্য হওয়ার শর্ত c=0

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত হওয়ার শর্ত a=c

মূলদ্বয় পরষ্পরের বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত a=-c অর্থাৎ a+c=0।

ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ আকারের সমীকরণকে ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। বহুপদী- সমীকরণের উপপাদ্য অনুযায়ী এতে তিনটি মূল রয়েছে। মূলগুলোকে $\alpha$ , $\beta$ ও $\gamma$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ত্রিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-

$\alpha +\beta +\gamma =-b/a$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =c/a$

$\alpha \beta \gamma =-d/a$

সাধারণ সম্পর্ক

$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+.......+a_{n-1}x+a_{n}=0,$ একটি বহুপদী -সমীকরণ এবং এর মূল গূলো $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},.....\alpha _{n}$ হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক-