আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ সাধারণ ভগ্নাংশের সাধারণ গুণিতক ও লসাগু । এটি সপ্তম শ্রেনী গণিতের ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু এর অন্তর্গত।
সাধারণ ভগ্নাংশের সাধারণ গুণিতক ও লসাগু
এপর্যন্ত আমরা সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতক কী সেটি দেখেছি। এখন, সাধারণ ভগ্নাংশের জন্য সাধারণ গুণিতক আসলে কী সেটি বোঝার চেষ্টা করব। এক্ষেত্রে মূল ধারণাটি কিন্তু আমাদের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাধারণ গুণিতকের ধারণার মতই। অর্থাৎ, একাধিক সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতকের তুলনা করে সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করতে হবে।
চলো আমরা গুণিতক খোঁজার খেলায় তৈরি করা কাগজের টুকরাগুলো নিয়ে আবার খেলার চেষ্টা করি। আবার তোমরা কয়েকটি দলে ভাগ হয়ে যাও।
আমরা জানি সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করতে হলে কিন্তু একাধিক ভগ্নাংশের মাঝে তুলনা করা লাগে। তাই তোমাদের নিচের ভগ্নাংশগুলোর তুলনা করতে হবে।
১) ১/২ ও ১/৩
২) ১/৩ ও ১/৪
৩) ১/৪ ও ১/৫
৪) ১/২ ও ১/৪
১/২ বসাবে। সাহায্যের জন্য চিত্রটি দেখতে পারো।
এভাবে আবার ১/২এর পাশে ১/২এর আরেকটি টুকরা এবং ১/৩ এর পাশে১/৩ এর আরেকটি টুকরা বসাও। এরকম করে চলবে। এবার তোমার কাজ হলো এটি চিহ্নিত করা কোন কোন জায়গায় গিয়ে টুকরাগুলো মিলে যাচ্ছে। এখানে সাহায্যের জন্য চিত্রটি দেখো। তোমরা দেখো, দুটি ১/২ এর খন্ড এবং ৩ টি ১/৩ এর খন্ড এক জায়গায় গিয়ে মিলেছে। ভাল করে খেয়াল করলে দেখতে পারবে উভয়েই ১ অংশে বা একটি কাগজের সমান অংশে গিয়ে মিলেছে।
এভাবে ২০ টি খণ্ডই বসাও। আর যে যে জায়গায় একসাথে হচ্ছে সেগুলো চিহ্নিত করো এবং ছকে পূরণ করো। এভাবে ২), ৩) এবং ৪) এর জন্যেও একইভাবে প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করো এবং সেই অনুযায়ী ছক ১ পূরণ করো।
ছক ১
(আংশিক পূরণ করা আছে। নির্দেশিত কাজের মাধ্যমে সম্পূর্ণ করতে হবে)
এই ছক থেকে তোমরা কি বুঝতে পারলে?
এবার চলো আমাদের জানা একটি উদাহরণ দেখা যাক। আমরা আবার ১/৬ ও ১/৮ ভগ্নাংশ দুটি নিই।
এখন এই দুটি ভগ্নাংশেরই ১০ টি করে গুণিতক নির্ণয় করব আমরা। সেটি নিচের ছকে নির্ণয় করা হয়েছে দেখো।
ছক ২
উপরের ছকে চিহ্নিত করো তো কোন ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা দুটি উভয় সারিতেই রয়েছে? খুব সহজেই দেখতে পারবে ১/২ এবং ১ ছকের উভয় সারিতেই রয়েছে। তাহলে পূর্ণসংখ্যার সাধারণ গুণিতকের ধারণা থেকে এক্ষেত্রেও বলা সম্ভব যে ১/২ এবং ১ হলো ১/৬ ও ১/৮ এর সাধারণ গুণিতক।
এখন আমরা আবার পূর্বের উদাহরণে চলে যাই। সেখান থেকে আমরা সাধারণ গুণিতকগুলো পেয়েছি ১/২ ও ১। এবার বলো তো এদের মধ্যে কোনটি ছোট? সাধারণ ভগ্নাংশের গসাগু নির্ণয় করার সময় কিন্তু আমরা বিষয়টি নিয়ে চিন্তা করে দেখেছি। এখান থেকে সহজেই বলা যায়, ১/২ ও ১ এর মাঝে, ১/২ হলো ছোট। তাই বলা যায় ১/২ হল ১/৬ ও ১/৮ এর সবচেয়ে ছোট কিংবা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।
এখন তোমরা চিন্তা করো আমরা এতক্ষণ এমন দুটি ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করেছি, যাদের লব শুধুমাত্র ১। এবার একটু ভিন্ন কিছু নিয়ে ভাবা যাক। এবার চলো আমরা ভগ্নাংশ হিসেবে ১/৪ ও ২/৫ নিই। এদের লসাগু নির্ণয় করতে হবে।
তাহলে চলো প্রথমেই লসাগু নির্ণয়ের নিয়ম অনুযায়ী এদের গুণিতকগুলো খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। প্রথমেই ১/৪ এর গুণিতকগুলো কি হবে? ছকে ১/৪ এর ১০ টি গুণিতক বের করার চেষ্টা করি। 8 8
ছক ৩
এখন ভাবো তো – এর গুণিতকগুলো কি হবে? চলো খুঁজে দেখার চেষ্টা করি।
ছক ৪
এখান থেকে দেখো, খুব সহজেই আমরা দেখতে পাচ্ছি দুটি ভগ্নাংশের মাত্র একটি সাধারণ গুণনীয়ক পাওয়া যাচ্ছে। সেটি হলো ২। এখন প্রশ্ন হলো আমরা কি এটিকেই লসাগু বলতে পারব কিনা? এখন চিন্তা করে দেখো, সাধারণ ভগ্নাংশের লসাগু কিন্তু প্রায় পুরোটাই পূর্ণ সংখ্যার মত নিয়ম মেনে চলে। পূর্ণসংখ্যার লসাগু নির্ণয় করার সময় আমরা কি দেখেছি, দুটি সংখ্যার মাঝে একদম প্রথম যে সাধারণ গুণিতকটি পাওয়া যায় সেটিই লসাগু। যেমন শুধু ৬ এবং ৮ এর লসাগু কি হয়?
৬ এর গুণিতক গুলো হলো: ৬, ১২, ১৮, ২৪, …
৮ এর গুণিতকগুলো হলো: ৮, ১৬, ২৪, ৩২, ….
এখানে, ২৪, ৬ ও ৮ দুটিরই সাধারণ গুণিতক এবং আমরা বলতে পারি এটিই আসলে ৬ ও ৮ এর লসাগু । আবার যদি পূর্বে নির্ণয় করা – ও এর ১২ টি করে গুণিতক নির্ণয় করি, তাহলে নিচের ছকটির মত পাব।
ছক ৫
এখন দেখো, আগের বারে তুলনায় আমরা আরেকটি নতুন একটি সাধারণ গুণিতক পাচ্ছি এবং সেটি হল। এখন একটি বিষয়টি দেখো। আমরা কিন্তু সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মত চাইলে সাধারণ গুণিতকগুলোর মাঝেও সম্পর্ক সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারব। নিচে দেখো,
অর্থাৎ, গুণনীয়কের মতই যদি ক্রমানুযায়ী গুণিতক নির্ণয় করা হয়, তাহলে প্রাপ্ত প্রথম সাধারণ গুণিতকটির সাহায্যে চাইলে অন্য সাধারণ গুণিতকগুলোও পাওয়া সম্ভব। অর্থাৎ, গুণ করে করে একটি সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করা গেলে এরপর বাকি সাধারণ গুণিতকগুলোও নির্ণয় করা যাবে। সেক্ষেত্রে প্রথম প্রাপ্ত সাধারণ গুণিতকটিকে আমার ক্রমান্বয়ে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা হলেই পরবর্তী সাধারণ গুণিতকগুলো পাওয়া যাবে।
এবার গুণিতক খোঁজার খেলায় যখন কাগজের টুকরা বারবার পাশাপাশি বসানো হচ্ছিল তখন কি হচ্ছিল? প্রতিবারই কিন্তু মোট অংশটি আমদের ভগ্নাংশ খণ্ডের চেয়ে বড় পাচ্ছিলাম এবং একটা সময় গিয়ে দেখা যায় কিছু ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে কিন্তু সেগুলো মূল কাগজ তথা ১ অংশের চেয়েই বড় হচ্ছিল।
এখন এখান থেকে কি সিদ্ধান্তে আসা যায় ভাবো তো? আমরা প্রতি ক্ষেত্রেই দেখতে পাচ্ছি যে ভগ্নাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যা গুণ করা হলে পরবর্তীতে আগের রাশির চেয়ে তুলনামূলক বড় একটি রাশি পাওয়া যাচ্ছে। অর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশকে আরেকটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা হলে নতুন পাওয়া গুণফল অবশ্যই মূল ভগ্নাংশের তুলনায় বড় হবে। আবার ভগ্নাংশগুলো হতে আমরা প্রথম যে সাধারণ গুণিতক পাই, সেটিকে ক্রমান্বয়ে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা হলে পরবর্তী সাধারণ গুণিতক গুলো পাওয়া যাচ্ছে।
অর্থাৎ, একাধিক ভগ্নাংশের মধ্যে গুণিতক নির্ণয় করা হলে, প্রথম যে সাধারণ গুণিতকটি পাওয়া যাবে সেটি সর্বদাই সাধারণ গুণিতকগুলোর মাঝে সবচেয়ে ছোট হবে। আর একদম প্রথমে পাওয়া সেই সাধারণ গুণিতকটিই হবে লসাগু।
এখন তাহলে কি বলা যায় বলো তো? আমরা ১০ টি করে গুণিতক নির্ণয় করে ১/৪ ও ২/৫ এর যে একমাত্র সাধারণ 8 গুণনীয়কটি পেয়েছি, সেই ২ ই হল ভগ্নাংশ দুটির লসাগু।
এবার চিন্তা করো তো, ১/৪ ও ৩/১১ এর লসাগু নির্ণয় করতে পারব কীনা? তাহলে চলো ১০ টি করে গুণিতক নিয়ে 8 লসাগু নির্ণয় করার চেষ্টা করি।
ছক ৬
এখন বলো তো এই ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ গুণিতক কত? ছক থেকে কিন্তু কোন সাধারণ গুণিতক পাওয়া যাচ্ছে না। কিন্তু ভগ্নাংশ দুটির অবশ্যই সাধারণ গুণিতক থাকবে। এবার তাহলে চলো, গসাগু নির্ণয়ের মত করে এটিরও আমরা মোট ১৫ টি করে সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করার চেষ্টা করি।
ছক ৭
এখন দেখো, আমরা কিন্তু একটি সাধারণ গুণিতক পেয়েছি। সেটি হল ৩। তাহলে এই ৩ ই কিন্তু ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ গুণিতক।
তোমরা যদি সাধারণ ভগ্নাংশের গসাগু থেকে দেখে আসো, তাহলে কিন্তু বুঝতে পারবে আমরা শুধু গুণনীয়কের সাহায্যে গসাগু নির্ণয় করতে গিয়ে যে সমস্যায় পড়েছিলাম, সেই একই সমস্যায় আমরা পড়ছি শুধু গুণিতকের সাহায্যে লসাগু নির্ণয় করতে গিয়ে। এখন মজার বিষয়টি হলো, আমরা আসলে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে যেভাবে গুণিতক নির্ণয় করে লসাগু নির্ণয় করি, সাধারণ ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও এই পদ্ধতিটি একদম একই। পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেও কিন্তু শুধু এভাবে গুণিতক দিয়ে লসাগু বের করা অনেক সময় সাপেক্ষ কাজ হয়। কারণ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণিতকের সংখ্যা কিন্তু সেটির গুণনীয়কের মত নির্দিষ্ট না। একইভাবে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতকের সংখ্যাও অনির্দিষ্ট এবং অসীম সংখ্যক।
একারণে, পূর্বে দেখে আসা গুণনীয়কের মত এক্ষেত্রেও আমরা চাইলে বুঝতে পারব না যে ঠিক কতটি করে গুণিতক নেয়া প্রয়োজন।
যেমন ১/৬ ও ১/৮এর ক্ষেত্রে ৪ টি করে গুণিতক নির্ণয় করেই কিন্তু আমরা লসাগু পেতে পারতাম। আবার-ও-এর 8 ক্ষেত্রে, উভয় ভগ্নাংশের ন্যুনতম ৮ টি গুণিতক নিতে হত লসাগুটি পাওয়ার জন্য।
অপরদিকে ১/৪ ও ৩/১১ ভগ্নাংশ দুটির ক্ষেত্রে কিন্তু আমরা দেখতে পাচ্ছি ১০ টি গুণিতক নির্ণয় করলেই হবে না। 8 অন্তত ১২ টি নির্ণয় করতে পারলে লসাগুটি পাওয়া যাবে।
এই বিষয়টি অনেক সময় সাপেক্ষ এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য ন্যুনতম কতটি গুণিতক নির্ণয় করলেই প্রথম সাধারণ গুণিতক তথা লসাগুটি পাওয়া যাবে, সেই সংখ্যাটিও অনির্দিষ্ট।
তোমরা যদি গসাগু অংশটি দেখে আসো, তাহলে কিন্তু তোমরা খুব সহজেই জানো যে এর একটি সহজ সমাধান রয়েছে। সেটি হল যে সকল ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয় করতে হবে, তাদের সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করা।
আমরা পূর্বেই দেখে এসেছি, ১/৪ ও ৩/১১ কে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করা হলে যা পাওয়া যায় সেটি হলো ১/৪ = ১১/৪৪ তেমনিভাবে ৩/১১ = ১২/88
আবার পূর্বের গসাগুর ক্ষেত্রে আমরা কি দেখে এসেছি? দুটি ভগ্নাংশের হর এক বলে আমরা ভগ্নাংশ দুটিকে সমহর বা ৪৪ দিয়ে গুণ করে পাচ্ছি ১১ ও ১২। এখন এসে আমাদের কিন্তু আগের মত গসাগু নির্ণয় করলে হবে না। আমাদের লসাগু নির্ণয় করতে হবে। তোমরা পূর্ণসংখ্যার লসাগু নির্ণয় করতে পারো কিন্তু। সেই ধারণা থেকে বলা যায়, ১১ ও ১২ এর লসাগু হবে ১৩২।
যেহেতু আমাদের কারণ আমাদের গৃহীত ভগ্নাংশ দুটি ছিল ১১/৪৪ ও ১২/88 তাই সমতা করার জন্য ১১ ও ১২ এর লসাগুকে ৪৪ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
অর্থাৎ, লসাগুটি হবে ১৩২/88 = ৩
এখান থেকে তাহলে কি বোঝা যায়? একাধিক সাধারণ ভগ্নাংশের হরগুলো যদি একই হয়, অর্থাৎ ভগ্নাংশগুলো সমহরবিশিষ্ট হয়, তাহলে, ভগ্নাংশগুলোর লসাগুও একটি ভগ্নাংশ হবে, যে ভগ্নাংশের হরটি সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোর হর হবে এবং লবটি সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর লসাগু হবে।
মনে রাখতে হবে আমরা যে লসাগুটি পাব সেটিকে অবশ্যই লঘিষ্ঠ আকারে নিয়ে প্রকাশ করতে হবে।
দেখো, উপরে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লবের মধ্যে কোনটি বড়? অবশ্যই ১১ ও ১২ এর মাঝে কিন্তু ১২ বড়। এখন চিন্তা করো তো এই দুটি ভগ্নাংশের লসাগু পাওয়ার জন্য ন্যুনতম কতটি করে গুণিতক নির্ণয় করতে হয়েছিল?
এখন তাহলে চলো আমরা দেখি আরও কিছু লসাগু নির্ণয় করতে পারি কিনা।
ধরো ভগ্নাংশ দুটি হল ৩/৫ ও ৬/১৩
চলো আমরা ভগ্নাংশ দুটিকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করার চেষ্টা করি। আমরা পূর্বেই দেখে এসেছি সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করা হলে নতুন প্রাপ্ত ভগ্নাংশ দুটি হবে
৩/৫ = ৩৯/৬৫ , ৬/১৩ = ৩০/৬৫
এবার আমাদের কী করতে হবে? হরকে ঠিক রেখে, লবে ৩০ ও ৩৯ এর লসাগু নির্ণয় করতে হবে। ৩০ ও ৩৯ এর লসাগু হল ৩৯০।
তাহলে ভগ্নাংশ দুটির নির্ণেয় লসাগুটি হবে -। এটিকে লঘিষ্ঠ আকারে নিলে দেখা যাবে লসাগু হবে ৬।
আমরা কিন্তু আগে দেখে এসেছি, এই সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির গসাগু কিন্তু ৩। তার মানে যদি ভগ্নাংশ দুটিকে ৩ দিয়ে ভাগ করতাম, তাহলে যে দুটি ভগ্নাংশ পেতাম সেটি কত হত? ১০/৬৫ এবং ১৩/৬৫ এদের লবগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম? তুমি পূর্বে গুণিতকের সাহয্যে যেভাবে লসাগু নির্ণয় করে এসেছিলে সেখানে সাধারণ গুণিতক বা লসাগুটি পাওয়ার জন্য ন্যুনতম কতটি গুণিতক নির্ণয় করার প্রয়োজন হয়েছিল?
তুমি চাইলে এভাবে ধাপে ধাপে কিন্তু কাজটি করতে পারো। নিচে পূর্বে নির্ণয় করে আসা দুটি ভগ্নাংশের গসাগু নির্ণয়ের ধাপ দেখানো হল।
ছক ৮
সাধারণ ভগ্নাংশের গসাগুর মত, লসাগুর ক্ষেত্রেও কিন্তু আমরা পুরো প্রক্রিয়ায় উদাহরণ হিসেবে ২ টি করে ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করেছি। তবে এখানে দেখানো সকল প্রক্রিয়া দুইয়ের অধিক ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয়ের জন্যেও কার্যকর।
আরও দেখুনঃ
