আজকে আমরা যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয় আলোচনা করবো। যা উচ্চতর গণিতের সম্ভাবনা অংশের অন্তর্গত।
যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয়
উদাহরণ ১.
মনে করি একটা নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। 5 আসার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
একটা ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হচ্ছে: 1, 2, 3, 4, 5, 6। ছক্কাটি নিরপেক্ষ হলে ফলাফলগুলো সমসম্ভাব্য হবে। অর্থাৎ যেকোনো ফলাফল আসার সম্ভাবনা সমান। অতএব যেকোনো একটা ফলাফল আসার সম্ভাবনা ছয়ভাগের একভাগ। সুতরাং 5 আসার সম্ভাবনা 1/6 আমরা এটাকে P(5) = 1/6 এভাবে লিখি ।
উদাহরণ ২.
একটা নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হচ্ছে 1, 2, 3, 4, 5, 6। এদের মধ্যে 2, 4, 6 এই 3 টি জোড় সংখ্যা। এই তিনটির যেকোনো একটা আসলে জোড় সংখ্যা হবে অর্থাৎ জোড় সংখ্যার অনুকূল ফলাফল 3 টা। যেহেতু ফলাফলগুলো সমসম্ভাব্য, তাই জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা হবে 3 /6
∴ P (জোড়সংখ্যা) = 3/6
তাহলে সম্ভাবনাকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:
কোনো ঘটনার সম্ভাবনা = উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল/ সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
কোনো পরীক্ষণে কোনো ঘটনা ঘটার অনুকূল ফলাফল সর্বনিম্ন শূন্য এবং সর্বোচ্চ n (সমগ্র সম্ভাব্য ঘটনাবলী) হতে পারে। যখন কোনো ঘটনার অনুকূল ফলাফলের মান শূন্য হয় তখন সম্ভাবনার মান শূন্য হয়। আর যখন অনুকূল ফলাফলের মান n হয়, তখন সম্ভাবনার মান 1 হয়। এ কারণে সম্ভাবনার মান 0 হতে 1 এর মধ্যে থাকে।
দুইটি বিশেষ ধরনের ঘটনা
নিশ্চিত ঘটনা:
কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে একে নিশ্চিত ঘটনা বলে। নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 হয়। যেমন, আগামীকাল সূর্য পূর্ব দিকে উঠার সম্ভাবনা 1, আজ সূর্য পশ্চিম দিকে অস্ত যাবে এর সম্ভাবনাও 1। রাতের বেলায় সূর্য দেখা যাবে না, এর সম্ভাবনা 1। একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় H অথবা T আসার সম্ভাবনাও 1। একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনাও 1। এগুলোর প্রত্যেকেই নিশ্চিত ঘটনা।
অসম্ভব ঘটনা :
কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা কখনো ঘটবে না অর্থাৎ ঘটতে পারে না একে অসম্ভব ঘটনা বলে। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা সব সময় শূন্য হয়। যেমন আগামীকাল সূর্য পশ্চিম দিক থেকে উঠবে অথবা পূর্বদিকে অস্ত যাবে এর সম্ভাবনা শূন্য। তেমনি রাত্রে সূর্য দেখা যাবে এর সম্ভাবনাও শূন্য। আবার একটা ছক্কা নিক্ষেপে 7 আসার সম্ভাবনাও শূন্য। এখানে প্রত্যেকটি ঘটনাই অসম্ভব ঘটনা।
উদাহরণ ৩.
একটা থলেতে 4 টা লাল, 5 টা সাদা ও 6 টা কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি ক) লাল, খ) সাদা ও গ) কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা 15 টি। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 15 টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে। সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 15
ক) ধরি লাল বল হওয়ার ঘটনা R। থলেতে মোট 4 টি লাল বল আছে। এদের যেকোনো একটি আসলেই লাল বল হবে। সুতরাং লাল বলের অনুকূল ফলাফল = 4
∴ P (R) = লাল বলের অনুকূল ফলাফল/ সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 4/15
খ) ধরি সাদা বল হওয়ার ঘটনা W। থলেতে মোট 5 টি সাদা বল আছে। এদের যেকোনো একটি আসলেই সাদা বল হবে। সুতরাং সাদা বলের অনুকূল ফলাফল = 5
∴ P (W) = সাদা বলের অনুকূল ফলাফল/ সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 5/15 = 1/3
গ) ধরি কালো বল হওয়ার ঘটনা B। থলেতে মোট 6 টি কালো বল আছে। এদের যেকোনো একটি আসলেই কালো বল হবে। সুতরাং কালো বলের অনুকূল ফলাফল = 6
∴ P(B) = কালো বলের অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 6/15 = 2/5
আরও দেখুনঃ
