আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়ঃ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত । এটি নবম – দশম শ্রেনী গণিতের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এর অন্তর্গত।
সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
মনে করি, ZXOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OA বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই APOM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় এদের ZXOA এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয় এবং এদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সুনির্দিষ্ট নামে নামকরণ করা হয়। ZXOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM এর PM বিপরীত বাহু, OM সন্নিহিত বাহু, OP অতিভুজ। এখন ZXOA = ধরলে, ৪ কোণের যে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা নিম্নে বর্ণনা করা হলো।
চিত্র থেকে,
sin8 = PM/OP = বিপরীত বাহু /অতিভুজ [8 কোণের সাইন (sine)]
cos8 = OM/OP = সন্নিহিত বাহু/অতিভুজ [8 কোণের কোসাইন (cosine) ]
tan8 = PM/OM = বিপরীত বাহু/সন্নিহিত বাহু [৪ কোণের ট্যানজেন্ট (tangent)]
এবং এদের বিপরীত অনুপাত
cosec 8 = 1 /sin8 = [৪ কোণের কোসেক্যান্ট (cosecant)]
sec8 = 1/ cos8 [৪ কোণের সেক্যান্ট (secant)]
cot8 = 1/tan8 [B কোণের কোট্যানজেন্ট (cotangent)]
লক্ষ করি, sin8 প্রতীকটি ৪ কোণের সাইন-এর অনুপাতকে বোঝায়; sin ও 8 এর গুণফলকে নয়। ৪ বাদে sin আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। ত্রিকোণমিতিক অন্যান্য অনুপাতের ক্ষেত্রেও বিষয়টি প্রযোজ্য।
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক
মনে করি, ∠XOA = 8 একটি সূক্ষ্মকোণ।
পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,
sin8 = PM/OP, cosec8 = 1/sin8 = OP/PM
tan8 = PM /OM , cot8 = 1/ tan8 = OM/ PM
আবার, tan8 = PM /OM = PM/OP/OM/OP [লব ও হরকে OP দ্বারা ভাগ করে]
tan8 = sin 8/ cos 8
এবং একইভাবে,
cot8 = cos 8/sin 8
ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
(1) (sin 0)² + (cos 0)² = (PM/OP)² +(OM/OP)²
= PM2/ OP2 / OM²/OP² = ( PM²+OM²)/OP2 = OP2/ OP2 [পিথাগোরাসের সূত্র]
= 1
(sin 0)2 + (cos 0)² = 1
মন্তব্য:
পূর্ণসংখ্যা সূচক n এর জন্য (sin 6)n কে sinn8 ও (cos 8)n কে cosn8 ইত্যাদি লেখা হয়।
(ii) sec20= (sec 0)² = (OP/OM)²
OP2/OM2 = (OM² + PM2)/ OM2 [OP সমকোণী APOM এর অতিভূজ বলে]
= OM2/OM2 + PM2/OM2
=1+ (PM/OM) 2
=1+ (tan 0)² = 1+tan20
sec20-tan20= 1
tan20 = sec20-1
(iii) cosec²0 = (cosec²0)² = (OP/PM)2
= OP2/ PM2 = (PM² + OM2)/ PM2 [OP সমকোণী APOM এর অতিভুজ বলে]
=PM²/PM2 + OM2/PM2 = 1+ (OM/PM) 2
=1+(cot 0)2 = 1 + cot20
cosec20 – cot20 = 1
cot20 = cosec20 – 1
উদাহরণ ৩.
tan A =4/3 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, tan A = 4/3
অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু = 4, সন্নিহিত বাহু = 3
অতিভুজ =√(42 + 32 )= 25 = 5
সুতরাং, sin A =4/5, = cos A = 3/5, cot A = 3/4
cosec A =5/4, sec A = 5/3
উদাহরণ ৪.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের LB কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে 2sin A.cosA=1 এর সত্যতা যাচাই কর ।
সমাধান:
দেওয়া আছে, tan A = 1
অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a
অতিভুজ = √(a2 + a2) = √2a
সুতরাং, sin A = a /√2a = 1 /√2 , cos A =a /√2a = 1 /√2
এখন বামপক্ষ = 2sin A .cos A = 2. 1 /√2 .1/√2 = 2. 1/2 = 1 = ডানপক্ষ।
উদাহরণ ৫.
প্রমাণ কর যে, tan 8 + cot8 = sec8. cosec 8
সমাধান:
বামপক্ষ = tan 8 + cot8
= sin8 /cos8 = cos8/ sin8
= sin²0+ cos20/ sin 0. cos 0
=1/sin0 cos 0 [ sin²0+ cos20 = 1]
= 1/sin0. 1/cos 0
= cosec 0 sec 0
= sec 9. cosec 9 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ৬.
sec² + cosec20 = sec²0 cosec20
সমাধান:
বামপক্ষ = sec²0+ cosec20
= 1/cos20 + 1/sin20
= sin²0 + cos20/cos20. sin20
= 1/cos20. sin20
= 1/ cos20 . 1/sin20
=sec20. cosec20
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ৭.
প্রমাণ কর যে, 1 /1 + 1 + sin20 + 1/1+ cosec20 = 1
সমাধান :
বামপক্ষ 1 /1 + sin 20 = 1 /1 + cosec20
= 1/1 + sin20 + 1 /( 1+ 1/ sin20)
= 1+ sin20 + sin20/( 1 + sin20)
= (1 + sin20)/( 1+sin20)
= 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ৮.
প্রমাণ কর: 1/( 2- sin20) + 1/( 2+tan20) = 1
সমাধান :
বামপক্ষ = 1/( 2- sin20) + 1/( 2+tan20)
= 1/( 2- sin20) +1/(2+ sin20 2/ cos20)
= 1/( 2- sin20) + cos20/(2cos20 + sin²0)
= 1/( 2- sin20) + cos20/2(1- sin20 2) + sin²0
= 1/( 2- sin20) + cos20/2- 2sin20 2 + sin²0
= 1/( 2- sin20) + 1 – sin20/2- sin20
= 2- sin20/2- sin20
= 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ৯. প্রমাণ কর : tan A/( sec A-1) – ( sec A+ 1)/ tan A = 0
সমাধান:
বামপক্ষ = tan A/( sec A-1) – ( sec A+ 1)/ tanA
= tan2A – (sec2A-1)/ (sec A + 1)tan A
= tan2A – tan² A/ (sec A + 1)tan A [ sec2A 1 tan²A]
= 0 /(sec A+ 1)tan A = 0 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ১০.
প্রমাণ কর: √(1- sin A/ 1 + sin A) = sec A-tan A
সমাধান :
বামপক্ষ √(1- sin A/ 1 + sin A)
= √(1 − sin A)(1 − sin A) /(1 + sin A)(1 − sin A) [লব ও হরকে √1 – sin A দ্বারা গুণ করে ]
= √(1 – sin A)2/( 1 – sin² A)
= √(1 – sin A)2/ cos2 A
=1- sin A /cos A
= 1/cos A – sin A/ cos A
= sec A-tan A = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ১১.
tan A+ sin A = a এবং tan A – sin A = b হলে, প্রমাণ কর যে, a2 – b2 = 4√ab
সমাধান:
এখানে প্রদত্ত, tan A+ sin A = a এবং tan A – sin A = b
বামপক্ষ = a2 – b2
= (tan A+ sin A)2- (tan A-sin A)2
= 4tan A.sin A [. (a+b)² – (a – b)² = 4ab]
= 4√tan2 A. sin2A
= 4√tan2A(1-cos² A)
= 4√tan2A- tan² A.cos2 A
= 4√tan2A – sin² A [. tan A sin A cos A ]
= 4√√(tan A+ sin A) (tan A – sin A)
= 4√ab
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
উদাহরণ ১২.
sec A+tan A= 5/2 হলে, sec A – tan A এর মান নির্ণয় কর। – 2
সমাধান:
এখানে প্রদত্ত, sec A + tan A = 5/2 …. (1)
আমরা জানি, sec² A = 1 + tan² A
বা, sec2A-tan2 A = 1
বা, (sec A+tan A) (sec A-tan A) = 1
বা, 5/2 (sec (sec A-tan A) = 1 [(1) ]
sec A -tan A = 2/5
আরও দেখুনঃ