নির্ণায়কের বিস্তার এবং অনুরাশি সহগুণক গণিত এর খুব গুরুত্বপূর্ণ একটি বিষয়। নির্ণায়ক (Determinants) হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে। নির্ণায়কের বিস্তার এবং অনুরাশি সহগুণক পলিটেকনিক এর ম্যাথমেটিক্স – ২ নামক সাবজেক্টের অংশ যার কোর্স কোড ৬৫৯২১। নির্ণায়কের বিস্তার এবং অনুরাশি সহগুণক পলিটেকনিক এর ম্যাথমেটিক্স – ২ এর ১ম অধ্যায়ের পাঠ।
নির্ণায়কের বিস্তার এবং অনুরাশি সহগুণক
নির্ণায়কের অনুরাশি এবং সহগুণক (Minor and Cofactor of Determinant)
কোনো নির্ণায়ক D এর কোনো ভুক্তি যে সারি ও যে কলামে অবস্থিত সে সারি ও সে কলাম ব্যতীত অবশিষ্ট ভুক্তি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ককে উক্ত ভুক্তির অনুরাশি বলা হয়।
যেমন: ∣111213212223313233∣ নির্ণায়কের 11,12,13 এর অর্থাৎ (1,1), (1,2), (1,3)–তম অনুরাশি যথাক্রমে ∣22233233∣,∣21233133∣,∣21223132∣
যথাযথ চিহ্নযুক্ত কোনো ভুক্তির অনুরাশিকে সে ভুক্তির সহগুণক বলা হয়। কোনো নির্ণায়কের (r,c)–তম সহগুণকের চিহ্ন হবে (−1)+ অর্থাৎ (r+c) জোড় হলে ‘+’ চিহ্ন এবং বিজোড় হলে ‘−’ চিহ্ন হবে। তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়কের চিহ্ন ∣+−+−+−+−+∣ অর্থাৎ কোণাকোণি অবস্থিত উপাদান ৫টি চিহ্ন ‘+’ এবং অপর ৪টির চিহ্ন ‘−’
সহগুণকের চিহ্ন সনাক্তকরণ:
কোন নির্ণায়কের যে উপাদানের সহগুণক বের করতে হলে উক্ত উপাদানটি যত নং কলাম ও যত নং সারিতে আছে তাদের যোগফল জোড় সংখ্যা হলে, সহগুণকের চিহ্ন ধনাত্মক (+ve) হবে এবং যোগফল বিজোড় হলে, চিহ্ন ঋণাত্মক (-ve) হবে।
নির্ণায়কের বিস্তৃতি :
নির্ণায়কের বিস্তৃতি বুঝানোর জন্য তৃতীয় ক্রমের একটি নির্ণায়ক বিবেচনা করি।
=∣111222333∣ নির্ণায়কটিকে প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করি। এ জন্য 1 বরাবর কলাম ও সারি বাদ দিলে বাকি চারটি উপাদান নিয়ে একটি 2×2 ক্ৰমের নির্ণায়ক হয়, যা 1 এর সাথে গুণ করি।
এরপর প্রথম কলাম এর দ্বিতীয় উপাদন 2 নিয়ে পূর্বের নিয়মে 2 বরাবর কলাম ও সারি বাদ দিলে বাকি চারটি উপাদন দিয়ে একটি 2×2 ক্ৰমের নির্ণায়ক হয়, যার পূর্বে একটা ঋণাত্মক চিহ্ন দিয়ে 2 এর সাথে গুণ করি এবং সব শেষে প্রথম কলামের শেষ বা তৃতীয় উপাদন 3 নিয়ে পূর্বের নিয়মে প্রাপ্ত 2×2 ক্রমের নির্ণায়কের সাথে a3 গুণ করি। প্রাপ্ত মানগুলিই হচ্ছে নির্ণায়কটির চূড়ান্ত বিস্তৃতি। নিচে তা দেখান হল:
=1∣2323∣−2∣1133∣+3∣1122∣=1(23−32)−2(31−31)+3(12−21)=(123+123+123)−(321+321+321)
নির্ণায়কের বিস্তার এবং অনুরাশি সহগুণক নিয়ে বিস্তারিত ঃ