বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যা এর সমাধান আজকের ক্লাসের আলোচনার বিষয় | বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান বিষয়টি দুই পর্বে বিশ্লেষণ করা হয়েছে। বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান প্রথম পর্বটি আমাদের ইনডেক্স চ্যানেলে প্রকাশিত হয়েছিল। বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ২য় পর্বটি “গণিত গুরুকুল” এ প্রকাশিত হলো। বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ক্লাসটি, পলিটেকনিক এর ম্যাথম্যাটিকস – ১ (৬৫৯১১) সাবজেক্ট এর ২য় অধ্যায়ের বিষয় | বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান ছাড়াও বাকি সব ক্লাসগুলো নিয়মিত “গণিত গুরুকুল এ প্রকাশিত হচ্ছে। ক্লাসগুলো পেতে সাবস্ক্রাইব করুন।

Table of Contents

বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যা এর সমাধান

বহুপদীগুলিকে যোগের সহযোগী ধর্ম ব্যবহার করে যোগ করা যেতে পারে (তাদের সমস্ত পদকে এক সাথে একত্রিত করে), সম্ভবত পুনর্বিন্যাস (বিনিময় বৈশিষ্ট ব্যবহার করে) এবং অনুরূপ পদগুলিকে একত্রিত করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি

P=3x^{2}-2x+5xy-2

এবং

Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

তাহলে যোগফল

P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

হিসাবে পুনর্বিন্যাস এবং পুনর্গঠিত করা যেতে পারে

P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)

এবং তারপর সরলীকৃত করলে

P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.

যখন বহুপদীগুলিকে একত্রে যোগ করা হয়, ফলাফল আরেকটি বহুপদী হয় ।

বহুপদী বিয়োগের ক্ষেত্রেও অনুরূপ।

গুণ

বহুপদীকে গুণও করা যায়। দুটি বহুপদীর গুণফলকে পদের সমষ্টি রূপে প্রসারিত করতে, বন্টনমূলক সূত্র বারবার প্রয়োগ করা হয়, যার ফলে একটি বহুপদীর প্রতিটি পদ অন্যটির প্রতিটি পদ দ্বারা গুণিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি

{\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}

এরপর

{\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}

প্রতিটি পদের গুণন করলে পাওয়া যায়

{\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}

অনুরূপ পদগুলিকে একত্রিত করে পাই

{\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}

যা সরলীকৃত করে পাই

PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.

উদাহরণ হিসাবে, বহুপদীর গুণফল সর্বদা একটি বহুপদী।

গঠন

প্রদত্ত একটি বহুপদী $f$ একক চলরাশির এবং আরেকটি বহুপদী $g$ যেকোনো সংখ্যক চলরাশির, কম্পোজিশন $f\circ g$ প্রথম বহুপদীর চলরাশির প্রতিটি অনুলিপি দ্বিতীয় বহুপদী দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $f(x)=x^{2}+2x$ এবং $g(x)=3x+2$ তারপর

(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).

বহুপদীর গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে একটি গঠনকে পদের সমষ্টিরূপে প্রসারিত করা যেতে পারে। দুটি বহুপদীর গঠন আরেকটি বহুপদী।

ভাগ

একটি বহুপদীকে অন্য একটি বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে সাধারণত বহুপদী হয় না। পরিবর্তে, এই ধরনের অনুপাতগুলি বিষয়বস্তুর একটি আরও সাধারণ গোষ্ঠী, যা প্রেক্ষাপটের উপর নির্ভর করে বীজগণিতীয় / মূলদ ভগ্নাংশ, মূলদ রাশি, বা মূলদীয় অপেক্ষক বলা হয়। এটি এই সত্যের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ যে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত একটি মূলদ সংখ্যা, অগত্যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ $1/(x 2 + 1)$ একটি বহুপদী নয়, এবং এটিকে চলরাশি $x$ এর ঘাতের একটি সসীম যোগফলের আকারে লেখা যাবে না।

একটি চলরাশির বহুপদীগুলির জন্য, বহুপদীগুলির ইউক্লিডীয় ভাগের একটি ধারণা রয়েছে, যা পূর্ণসংখ্যাগুলির ইউক্লিডীয় ভাগের সাধারণীকরণ বা সর্বজনীন করে। $a (x)/ b (x)$ ভাগের এই ধারণার ফলে দুটি বহুপদী, একটি ভাগফল $q (x)$ এবং একটি অবশিষ্ট $r (x)$ হয়, যেমন $a = b q + r$ এবং $r$ -এর মাত্রা $<$ $b$ -এর মাত্রা [ $degree(r) < degree(b)$ ]। ভাগফল এবং অবশিষ্ট বহুপদীর দীর্ঘ ভাগ এবং কৃত্রিম ভাগ সহ বিভিন্ন অ্যালগরিদমের যেকোনো একটির দ্বারা ইহা গণনা করা যেতে পারে।

যখন $b (x)$ হরটি একক এবং রৈখিক হয়, অর্থাৎ, কোনো ধ্রুবক $c$ এর জন্য $b (x) = x - c$ , তখন বহুপদী ভাগশেষ উপপাদ্য দাবি করে যে $a (x)$ এর ভাগের অবশিষ্ট $b (x)$ দ্বারা মূল্যায়ন $a (c)$ . এই ক্ষেত্রে, ভাগফল কৃত্রিম (সিন্থেটিক) ভাগের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, রুফিনির নিয়ম প্রয়োগ করে গণনা করা যেতে পারে।

উৎপাদক

একটি অনন্য উৎপাদকীয় (উৎপাদকে বিভাজিত) ক্ষেত্রে সহগ সহ সমস্ত বহুপদী (উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা বা একটি ক্ষেত্র)-এর একটি উৎপাদকযুক্ত আকার রয়েছে যেখানে বহুপদীকে অপরিবর্তনীয় বহুপদীর গুণফল এবং একটি ধ্রুবক হিসাবে লেখা হয়। এই গুণনীয়ক আকারটি গুণনীয়কগুলির ক্রম এবং একটি ইনভার্টেবল ধ্রুবক দ্বারা তাদের গুণ পর্যন্ত অনন্য। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের জন্য, অপরিবর্তনীয় গুণনীয়কগুলি রৈখিক। প্রকৃত সংখ্যার জন্য, তাদের মাত্রা হয় এক বা দুই। পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার জন্য অপরিবর্তনীয় উৎপাদকগুলির কোনও মাত্রা থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এর গুণিত রূপ

5x^{3}-5

হল

5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)

পূর্ণসংখ্যা এবং বাস্তব জন্য, এবং

5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)

জটিল সংখ্যার জন্য।

উৎপাদকে বিভাজনের গণনাকেই উৎপাদকীয় আকার বলা হয়, সাধারণভাবে, হাতে লেখা গণনার দ্বারা করা খুব কঠিন। যাইহোক, বেশিরভাগ কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থায় দক্ষ বহুপদী ফ্যাক্টরাইজেশন (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) অ্যালগরিদম পাওয়া যায়।

কলনবিদ্যা

অন্যান্য ধরনের অপেক্ষকের তুলনায় বহুপদীর অন্তরজ এবং সমকলন গণনা করা বিশেষভাবে সহজ।

বহুপদীর অন্তরজ

P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

$x$ এর সাপেক্ষে হল নিম্নোক্ত বহুপদী

na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.

অনুরূপভাবে, এর সাধারণ অ্যান্টিডেরিভেটিভ (বা অনির্দিষ্ট সমকলন) $P$ হল

{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}

যেখানে $c$ যেকোনো একটি ধ্রুবক। উদাহরণস্বরূপ, $x 2 + 1$ এর অ্যান্টিডেরিভেটিভের আকার আছে।

বহুপদীর জন্য যার সহগগুলি আরও বিমূর্ত সেটিংস থেকে আসে (উদাহরণস্বরূপ, যদি সহগগুলি পূর্ণসংখ্যা হয় কোনো মৌলিক সংখ্যা $p$ , বা যেকোনো একটি বলয় (রিং)-এর উপাদান), তবে অন্তরকলনের সূত্রটি আনুষ্ঠানিকভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, সহগ $ka k$ হল $a k$ এর $k$ সংখ্যক অনুলিপির সমষ্টি। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা মডিউল $p$ এর সাপেক্ষে, বহুপদী $x p + x$ এর অন্তরজ হল বহুপদী $1$ ।

বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যা এর সমাধান | পলিটেকনিক ম্যাথমেটিক্স

বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যা এর সমাধান

গুণ

গঠন

ভাগ

উৎপাদক

কলনবিদ্যা

বহুপদী সংক্রান্ত সমস্যা এর সমাধান নিয়ে বিস্তারিত ঃ

Leave a Comment Cancel reply